قوانين المتتابعة الحسابية

قانون الجمعو من ثم شرع العلماء فى وضع القوانين للمتتابعة الحسابية مثل قانون الجمع ويستخدم فى جمع جميع حدود المتتابعة الحسابية و قانون اخر لمعرفة قيمة حد معين فى متتابعة حسابية كبيرة جدا ... و بالتالى معرفة قيمة الحد الاخير اذا كان مجهولا .

اليكم قصة قصيرة للعالم الذى وضع قانون مجموع المتتابعة الحسابية و هو "كارل فريدريك جاوس" و هى من الطرائف التي تروى عنه فعندما كان في سن العاشرة من عمره قام باحداث شغب في الفصل هو و بعض اصدقائه فأراد المدرس أن يعاقبهم جميعا فأمرهم أن يقوموا بجمع الأعداد من 1 الى 100
من المدهش انه بعد وقت قصير قدم "كارل فريدريك جاوس"  إجابة صحيحة لهذه المسألة و التي من المفترض أن تأخذ وقتاً طويلاً .

وقد كان حل "كارل فريدريك جاوس" بسيطا جدا فقد نظر الى الارقام بمنظور اخر ....
فباعتبار ان هذه الارقام من 1 الى 100 تكون متتابعة حسابية فتكون:

(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .................... , 96 , 97 , 98 , 99 , 100)

وبالتالى فان مجموع المتتابعة هو (1+2+3+4+5+..........+96+97+98+99+100)
فنجد ان (1+100) = (2+99) = (3+98) = (4+97) = (5+96) ....الخ = 101

اى انه يمكن جمع هذه المتتابعة على النحو التالى :-
 (1+100) + (2+99) + (3+98) + (4+97) + (5+96) .....
= 101 + 101 + 101 + 101 + 101 +..........................

نلاحظ ان (101) تتكرر هنا 50 مرة وهو نصف عدد حدود المتتابعة اى ان مجموع المتتابعة يصبح 50 × 101 = 5050

وبوضع قانون لهذه العملية نجد انه يكون كالاتى :-

مجموع اى متتابعة حسابية يساوى نصف عدد الحدود مضروبا فى مجموع الحد الاول والحد الاخير او مجموع الحد الثانى والقبل الاخير او غيرها فيكون رياضيا هكذا :

[ م= ( ن÷2 ) × ( أ+ل ) ]

حيث (م) هو المجموع و (ن) عدد الحدود و (أ) هو الحد الاول و (ل) هو الحد الاخير .

قانون لمعرفة الحد المجهول فى المتتابعة الحسابية
وهناك قانون اخر لمعرفة قيمة اى حد مجهول فى المتتابعة الحسابية فمثلا فى المتتابعة الاتية :

(10 , 15 , 20 , ............. الى ما لا نهاية )

يكون الحد الاول 10 والحد الثانى 15 والاساس (د) =5  نلاحظ ان الحد الثانى = الحد الاول + الاساس و الحد الثالث = الحد الثانى +الاساس
اى ان الحد الثالث = الحد الاول + 2 الاساس
و بوضع قانون نجد ان الحد النونى اى الحد المجهول ( ح (ن) ) يعين من العلاقة الاتية
ح (ن)  =  أ + (ن - 1) × د
ح (3)  = 10+ (3 - 1) × 5 = 10 + 10 = 20

وهذا القانون يقوم بجمع الحد الاول و مجموع الاساس بين كل الحدود وصولا للحد المطلوب .

فلو اردنا مثلا معرفة قيمة الحد الخامس والعشرين نطبق القانون فيكون :

ح (25) = 10 + (25 - 1) × 5 = 10 + 120 = 130

ومن الممكن ايضا التعويض بهذا القانون فى قانون الجمع عن الحد الاخير اذا كان مجهولا فى :
م= ( ن÷2 ) × ( أ+ل )
فاذا كان عدد حدود المتتابعة الحسابية معلوم و الحد الاخير (ل) مجهول يكون
ل = ح (ن) =  أ + (ن - 1) × د
ويتم التعويض عنه فيتعين مجموع المتتابعة الحسابية من العلاقة  :

م= ( ن÷2 ) × ( أ+ل )
= ( ن÷2 ) × (أ + أ + (ن - 1) × د )
اذا  م = ( ن÷2 ) × ( 2 أ + (ن - 1) × د ) وهذا يعتبر قانون اخر لمجموع المتتابعة الحسابية .

وهكذا اكون قد قدمت لكم قوانين المتتابعة الحسابية بطريق مبسطة  فاتمنى ان تكون قد نالت اعجابكم